Question

（2013•杨浦区一模）（文） 已知函数f（x）=cos（x-

π

4

），
（1）若f（a）=

7 2

10

，求sin2α的值；
（2）设g（x）=f（x）•f（x+2π），求g（x）在区间[-

π

6

，

π

3

]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）由f（a）=cos（α-

π

4

）=

7 2

10

，化简可得 sinα+cosα=

7

5

，平方可得 sin2α 的值．
（2）利用二倍角公式、两角和差的余弦公式化简 g（x）的解析式为

1

2

cos2x，再根据x的范围求得求g（x）
在区间[-

π

6

，

π

3

]上的最大值和最小值．

解答：解：（1）因为f（a）=cos（α-

π

4

）=

7 2

10

，化简可得 sinα+cosα=

7

5

．…（3分）
平方得，1+sin2α=

49

25

，…（5分）
所以，sin2α=

24

25

．…（7分）
（2）因为 g（x）=f（x）•f（x+2π）=cos（x-

π

4

）cos（x+

π

4

）=

2

2

（cosx+sinx）•

2

2

（cosx-sinx）
=

1

2

（cos²x-sin²x）=

1

2

cos2x． …（11分）
当 x∈[-

π

6

，

π

3

]时，2x∈[-

π

3

，

2π

3

]．…（12分）
所以，当2x=0，即 x=0时，g（x）取得最大值为

1

2

；                             …（13分）
当2x=

2π

3

，即 x=

π

3

时，g（x）取得最小值为-

1

4

．…（14分）

点评：本题主要考查二倍角公式、两角和差的余弦公式的应用，余弦函数的定义域和值域，属于中档题．