Question

设有半径为3km的圆形村落，A、B两人同时从村落中心出发，B向北直行，A先向东直行，出村后不久，改变前进方向，沿着与村落周界相切的直线前进，后来恰与B相遇．设A、B两人速度一定，其速度比为3：1，问两人在何处相遇？

Answer 1

分析：先根据题意，以村落中心为坐标原点，向东的方向为x轴建立直角坐标系，根据两人的速度关系设其速度及各点，将实际问题转化为数学问题，利用图形中的直角三角形得到5x₀=4y₀，代入直线的斜率公式可得直线的斜率，再利用直线与圆相切即可的直线方程，也就得到了该问题的解．

解答：解：如图，建立平面直角坐标系，由题意可设A、B两人速度分别为3v千米/小时，
v千米/小时，再设出发x₀小时，在点P改变方向，又经过y₀小时，在点Q处与B相遇．
则P、Q两点坐标为（3vx₀，0），（0，vx₀+vy₀）．由|OP|²+|OQ|²=|PQ|²知，
（3vx₀）²+（vx₀+vy₀）²=（3vy₀）²，
即（x₀+y₀）（5x₀-4y₀）=0．∵x₀+y₀＞0，∴5x₀=4y₀①
将①代入kPQ=-

x0+y0

3x0

，得kPQ=-

3

4

．
又已知PQ与圆O相切，直线PQ在y轴上的截距就是两个相遇的位置．
设直线y=-

3

4

x+b与圆O：x²+y²=9相切，
则有

|4b|

32+42

=3，b=

15

4

答：A、B相遇点在离村中心正北3

3

4

千米处．

点评：本题考查了圆的方程的综合应用，在这个题中注意解决实际问题的基本步骤，及题目条件的转化，体现了转化思想和数形结合思想，是个中档题．