Question

2．已知椭圆$E：\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{b^2}=1（0＜b＜2）$的右焦点为F．短轴的一个端点为M，直线l：3x-4y=0，若点M到直线l的距离不小于$\frac{4}{5}$，则椭圆E的离心率的取值范围是（0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]．

Answer 1

分析 求得椭圆的短轴的一个端点，运用点到直线的距离公式解不等式可得1≤b＜2，运用离心率公式，以及不等式的性质，即可得到所求范围．

解答 解：椭圆$E：\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{b^2}=1（0＜b＜2）$的短轴的一个端点为M（0，b），
点M到直线l的距离不小于$\frac{4}{5}$，即为$\frac{4b}{\sqrt{9+16}}$≥$\frac{4}{5}$，
即有1≤b＜2，又a=2，c=$\sqrt{4-{b}^{2}}$，
则e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{4-{b}^{2}}}{2}$∈（0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]．
故答案为：（0，$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$]．

点评 本题考查椭圆的离心率的范围，考查点到直线的距离公式的运用，以及不等式的解法和性质，属于中档题．