Question

11．现有一个以OA、OB为半径的扇形池塘，在OA、OB上分别取点C、D，作DE∥OA、
CF∥OB交弧AB于点E、F，且BD=AC，现用渔网沿着DE、EO、OF、FC将池塘分成
如图所示的三种的养殖区域．若OA=1km，$∠AOB=\frac{π}{2}$，$∠EOF=θ（0＜θ＜\frac{π}{2}）$．
（1）求区域Ⅱ的总面积；
（2）若养殖区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的每平方千米的年收入分别是15万元、20万元、10万元，记年总收入为y万元． 试问当θ为多少时，年总收入最大？

Answer 1

分析 （1）根据三角形的面积公式即可求区域Ⅱ的总面积；
（2）建立三角函数关系式，求函数的导数，利用导数研究函数的最值即可．

解答 解：（1）因为BD=AC，OB=OA，所以OD=OC．
因为$∠EOF=\frac{π}{2}$，DE∥OA，CF∥OB，
所以DE⊥OB，CF⊥OA．
又因为OE=OF，所以Rt△ODE≌Rt△OCF．
所以$∠DOE=∠COF，∠COF=\frac{1}{2}（\frac{π}{2}-θ）$．  …（2分）
所以$OC=OF•cos∠COF=cos[\frac{1}{2}（\frac{π}{2}-θ）]$．
所以${S_{△COF}}=\frac{1}{2}•OC•OF•sin∠COF=\frac{1}{4}cosθ$，
所以${S_{区域II}}=\frac{1}{2}cosθ$，$（0＜θ＜\frac{π}{2}）$． …（6分）
（2）因为${S_{区域I}}=\frac{1}{2}θ$，
所以${S_{区域III}}={S_总}-{S_{区域I}}-{S_{区域II}}=\frac{π}{4}-\frac{1}{2}θ-\frac{1}{2}cosθ$．
所以$y=15×\frac{1}{2}θ+20×\frac{1}{2}cosθ+10×（\frac{π}{4}-\frac{1}{2}θ-\frac{1}{2}cosθ）$=$\frac{5}{2}π+\frac{5}{2}θ+5cosθ\;，\;（0＜θ＜\frac{π}{2}）$，…（10分）
所以$y'=\frac{5}{2}（1-2sinθ）$，
令y'=0，则$θ=\frac{π}{6}$． …（12分）
当$0＜θ＜\frac{π}{6}$时，y'＞0，当$\frac{π}{6}＜θ＜\frac{π}{2}$时，y'＜0．
故当$θ=\frac{π}{6}$时，y有最大值．
答：当θ为$\frac{π}{6}$时，年总收入最大．…（15分）

点评 本题主要考查三角函数的应用问题，根据条件建立三角关系是解决本题的关键．