分析 (Ⅰ)建立如图所示的坐标系,利用向量方法证明:DF⊥平面ABE;
(Ⅱ)利用等体积转化,求三棱锥A1-ABE的体积.
解答 (Ⅰ)证明:建立如图所示的坐标系,则D($\frac{1}{2}$,0,1),F($\frac{1}{2}$,$\frac{1}{2}$,0),A(0,0,0),B(1,0,0),E(0,1,$\frac{1}{2}$),
∴$\overrightarrow{DF}$=(0,$\frac{1}{2}$,-1),$\overrightarrow{AB}$=(1,0,0),$\overrightarrow{AE}$=(0,1,$\frac{1}{2}$),
设平面ABE的法向量为$\overrightarrow{n}$=(x,y,z),则$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y+\frac{1}{2}z=0}\end{array}\right.$,
取$\overrightarrow{n}$=(0,1,-2),
∴$\overrightarrow{DF}$∥$\overrightarrow{n}$,
∴DF⊥平面ABE;
(Ⅱ)解:三棱锥A1-ABE的体积=三棱锥E-A1AB的体积=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×1×1$=$\frac{1}{6}$.
点评 本题考查线面垂直的证明,考查三棱锥体积的计算,考查向量方法的运用,属于中档题.
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | (-∞,0) | B. | (0,+∞) | C. | $({-∞,\frac{1}{e}})$ | D. | $({\frac{1}{e},+∞})$ |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | {-2,-1,0} | B. | {-2,-1,0,1} | C. | {-2,-1,0,1,2} | D. | {-2,-1,0,1,2,3} |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | $\frac{1}{5}$ | B. | $\frac{7}{10}$ | C. | $\frac{7}{5}$ | D. | $\frac{5}{7}$ |
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
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