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12.已知三棱柱ABC-A1B1C1中,底面三角形ABC是直角三角形,四边形A1ACC1和四边形A1ABB1均为正方形,D,E,F分别是A1B1,C1C,BC的中点,AB=1.
(Ⅰ)证明:DF⊥平面ABE;
(Ⅱ)求三棱锥A1-ABE的体积.

分析 (Ⅰ)建立如图所示的坐标系,利用向量方法证明:DF⊥平面ABE;
(Ⅱ)利用等体积转化,求三棱锥A1-ABE的体积.

解答 (Ⅰ)证明:建立如图所示的坐标系,则D($\frac{1}{2}$,0,1),F($\frac{1}{2}$,$\frac{1}{2}$,0),A(0,0,0),B(1,0,0),E(0,1,$\frac{1}{2}$),
∴$\overrightarrow{DF}$=(0,$\frac{1}{2}$,-1),$\overrightarrow{AB}$=(1,0,0),$\overrightarrow{AE}$=(0,1,$\frac{1}{2}$),
设平面ABE的法向量为$\overrightarrow{n}$=(x,y,z),则$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y+\frac{1}{2}z=0}\end{array}\right.$,
取$\overrightarrow{n}$=(0,1,-2),
∴$\overrightarrow{DF}$∥$\overrightarrow{n}$,
∴DF⊥平面ABE;
(Ⅱ)解:三棱锥A1-ABE的体积=三棱锥E-A1AB的体积=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×1×1$=$\frac{1}{6}$.

点评 本题考查线面垂直的证明,考查三棱锥体积的计算,考查向量方法的运用,属于中档题.

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