Question

取一根长度为3 m的绳子,拉直后在任意位置剪断,那么剪得两段的长都不小于1 m的概率是多大？

Answer 1

【探究一】从每一个位置剪断绳子,都是一个基本事件,剪断位置可以是长度为3 m的绳子上的任意一点,基本事件有有限多个,而且每一个基本事件的发生都是等可能的,因此事件的发生的概率只与剪断位置所处的绳子的长度有关,符合几何概型的条件.

【解析】如图3-3-20,记A={剪得两段绳子都不小于1 m},把绳子三等分,于是当剪断位置处在中间一段上时,事件A发生.由于中间一段的长度为3×=1 m,所以事件A发生的概率P(A)=.

         图3-3-20

【探究二】在任意位置剪断绳子,则剪断位置到一端点的距离取遍［0,3］内的任意数,并且每一个实数被取到都是等可能的.因此在任意位置剪断绳子的所有结果(基本事件)对应［0,3］上的均匀随机数,其中取得的［1,2］内的随机数就表示剪断位置与端点距离在［1,2］内,也就是剪得两段长都不小于1 m.这样取得的［1,2］内的随机数个数与［0,3］内的随机数个数之比就是事件A发生的概率.

【解法一】(1)利用计算器或计算机产生一组0到1区间的均匀随机数,a₁=RAND.

(2)经过伸缩变换a=a₁*3.

(3)统计出［1,2］内随机数的个数N₁和［0,3］内随机数的个数N.

(4)计算频率f_n(A)=即为概率P(A)的近似值.

【解法二】做一个带有指针的圆盘,把圆周三等分,标上刻度［0,3］(这里3和0重合).转动圆盘记下指针指在［1,2］(表示剪断绳子位置在［1,2］范围内)的次数N₁及试验总次数N,则f_n(A)= 即为概率P(A)的近似值.

规律总结 解法二用转盘产生随机数,这种方法可以亲自动手操作,但费时费力,试验次数不可能很大；解法一用计算机产生随机数,可以产生大量的随机数,又可以自动统计试验的结果,同时可以在短时间内多次重复试验,可以对试验结果的随机性和规律性有更深刻的认识.