Question

已知函数f（x）=e^x-2x，g（x）=x²+m（m∈R）
（Ⅰ）对于函数y=f（x）中的任意实数x，在y=g（x）上总存在实数x₀，使得g（x₀）＜f（x）成立，求实数m的取值范围
（Ⅱ）设函数h（x）=af（x）-g（x），当a在区间[1，2]内变化时，
（1）求函数y=h′（x）x∈[0，ln2]的取值范围；
（2）若函数y=h（x），x∈[0，3]有零点，求实数m的最大值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）首先要理解任意和存在在题目中的意思，将原命题转化为[g（x）]_min＜[f（x）]_min，构造关于x不等式求解；
（Ⅱ）首先解决两个变量a，x对函数的影响，一般依次看做a和x的函数，将二元函数转化为一元函数问题；（1）看成a的一次函数，转化为关于x的函数，然后再求相关函数值域；
（2）根据根的存在性定理知 h（x）在[0，3]上的最大值与最小值要异号，从而找到m关于a的关系，得到m的最值．

解答： 解（Ⅰ）原命题可化为[g（x）]_min＜[f（x）]_min，
令f'（x）=e^x-2=0，得x=ln2．
当x＞ln2时，f'（x）＞0；当x＜ln2时，f'（x）＜0，
故当x=ln2时，y=f（x）取得极（最）小值，其最小值为2-2ln2；
而函数y=g（x）的最小值为m，故当m＜2-2ln2时，结论成立
（Ⅱ）（1）∵由h（x）=a（e^x-2x）-x²-m，
∴可得h'（x）=a（e^x-2）-2x，将h'（x）看作关于a的一次函数：
当x∈[0，ln2]时，e^x-2＜0，因为a∈[1，2]，故2（e^x-2）-2x≤h'（x）≤（e^x-2）-2x，
令M（x）=2（e^x-2）-2x，x∈[0，ln2]，
则M'（x）=2e^x-2＞0，M（x）在x∈[0，ln2]为增函数，
故h'（x）在x∈[0，ln2]最小值为M（0）=-2，
又令N（x）=（e^x-2）-2x，同样可求得N（x）在x∈[0，ln2]的最大值N（0）=-1，
故函数y=h'（x）在x∈[0，ln2]的值域为[-2，-1]
（Ⅱ）（2）由（1）可知x∈[0，ln2]时，y=h'（x）＜0，
故?a∈[1，2]，h（x）在x∈[0，ln2]均为单调递减函数，
故函数h（x）_max=h（0）=a-m；
当x∈[ln2，3]时，
∵e^x-2＞0，a∈[1，2]，
∴h'（x）的值在区间[（e^x-2）-2x，2（e^x-2）-2x]上变化，
此时，对于函数 M（x）=2（e^x-2）-2x，存在x₀∈[ln2，3]，M（x）在x∈[ln2，x₀]单调递减，在x∈[x₀，3]单调递增，
∴h（x）在x∈[ln2，3]的最大值为h（3）=a（e³-6）-9-m，
∵a∈[1，2]，h（3）-h（0）=a（e³-7）-9＞0，
∴h（3）＞h（0），
因此h（x）的最大值是h（3）=a（e³-6）-9-m，
故当函数y=h（x）有零点时，a（e³-6）-9-m≥0
∵a∈[1，2]，m≤2（e³-6）-9，
∴实数m的最大值是m=2（e³-6）-9=2e³-21．

点评：本题考查了函数与方程的关系，以及利用导数讨论函数的最值．本题的难点是二元函数的转化问题，在二元函数转化时要先固定一个变量．求解本题要熟练掌握导数求最值得方法．