Question

已知函数f（x）=-x³+ax²+bx+c在（-∞，0）上是减函数，在（0，1）上是增函数，函数f（x）在R上有三个零点，且1是其中一个零点．
（Ⅰ）求b的值；
（Ⅱ）求f（2）的取值范围；
（Ⅲ）设g（x）=x-1，且f（x）＞g（x）的解集为（-∞，1），求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根据题意f（x）在（-∞，0）上是减函数，在（0，1）上是增函数，则当x=0时，f（x）取到极小值，求出函数的导数代入函数的倒数即可求出b的值
（Ⅱ）由（1）知，f（x）=-x³+ax²+c，根据1是函数f（x）的一个零点，求出ac的关系，根据导数求出导数的两根，再根据f（x）在（0，1）上是增函数，且函数f（x）在R上有三个零点，求出a的取值范围
（Ⅲ）点（1，0）是函数f（x）和函数g（x）的图象的一个交点，结合函数f（x）和函数g（x）的图象及其增减特征可知，当且仅当函数f（x）和函数g（x）的图象只有一个交点（1，0）时，f（x）＞g（x）的解集为（-∞，1）．
解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=-x³+ax²+bx+c，∴f′（x）=-3x²+2ax+b、（1分）
∵f（x）在（-∞，0）上是减函数，在（0，1）上是增函数，
∴当x=0时，f（x）取到极小值，即f′（0）=0、∴b=0、（3分）
（Ⅱ）由（1）知，f（x）=-x³+ax²+c，
∵1是函数f（x）的一个零点，即f（1）=0，∴c=1-a、（5分）
∵f′（x）=-3x²+2ax=0的两个根分别为x₁=0，x₂=，
∵f（x）在（0，1）上是增函数，且函数f（x）在R上有三个零点，
∴x₂=＞1，即a、（7分）
∴f（2）=-8+4a+（1-a）=3a-7、
故f（2）的取值范围为（-，+∞）、（9分）
（Ⅲ）解法1：由（Ⅱ）知f（x）=-x³+ax²+1-a，且a＞、
∵1是函数f（x）的一个零点，∴f（1）=0，
∵g（x）=x-1，∴g（1）=0，
∴点（1，0）是函数f（x）和函数g（x）的图象的一个交点、（10分）
结合函数f（x）和函数g（x）的图象及其增减特征可知，当且仅当函数f（x）和函数g（x）的图象只有一个交点（1，0）时，f（x）＞g（x）的解集为（-∞，1）、
即方程组（1）只有一个解、（11分）
由-x³+ax²+1-a=x-1，得（x³-1）-a（x²-1）+（x-1）=0、
即（x-1）（x²+x+1）-a（x-1）（x+1）+（x-1）=0、
即（x-1）[x²+（1-a）x+（2-a）]=0、
∴x=1或x²+（1-a）x+（2-a）=0、（12分）
由方程x²+（1-a）x+（2-a）=0，（2）
得△=（1-a）²-4（2-a）=a²+2a-7、∵a＞，
当△＜0，即a²+2a-7＜0，解得（13分）
此时方程（2）无实数解，方程组（1）只有一个解、
所以时，f（x）＞g（x）的解集为（-∞，1）、（14分）
（Ⅲ）解法2：由（Ⅱ）知f（x）=-x³+ax²+1-a，且a＞、
∵1是函数f（x）的一个零点
∴f（x）=-（x-1）[x²+（1-a）x+1-a]
又f（x）＞g（x）的解集为（-∞，1），
∴f（x）-g（x）=-（x-1）[x²+（1-a）x+2-a]＞0解集为（-∞，1）（10分）
∴x²+（1-a）x+2-a＞0恒成立（11分）
∴△=（1-a）²-4×1×（2-a）＜0（12分）
∴a²+2a-7＜0，∴（a+1）²＜8
（14分）
点评：该题考查函数的求导，根据函数的零点求出a的取值范围，利用判别式求方程的解，