Question

【题目】设集合Ma={f（x）|存在正实数a，使得定义域内任意x都有f（x+a）＞f（x）}．
（1）若f（x）=2x﹣x2 ， 试判断f（x）是否为M1中的元素，并说明理由；
（2）若 ，且g（x）∈Ma ， 求a的取值范围；
（3）若 （k∈R），且h（x）∈M2 ， 求h（x）的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（1）=f（0）=1，∴f（x）M1
（2）解：由

∴ ，

故 a＞1

（3）解：由 ，

即：

∴ 对任意x∈[1，+∞）都成立

∴

当﹣1＜k≤0时，h（x）min=h（1）=log3（1+k）；

当0＜k＜1时，h（x）min=h（1）=log3（1+k）；

当1≤k＜3时， ．

综上：

【解析】（1）利用f（1）=f（0）=1，判断f（x）M1 ． （2）f（x+a）﹣f（x）＞0，化简，通过判别式小于0，求出a的范围即可．（3）由f（x+a）﹣f（x）＞0，推出 ，得到 对任意x∈[1，+∞）都成立，然后分离变量，通过当﹣1＜k≤0时，当0＜k＜1时，分别求解最小值即可．