(本小题满分14分)
如图所示,四棱锥中,底面为正方形,平面,,,,分别为、、的中点.
(1)求证:;
(2)求平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的余弦值.
(1)要证 ,只需证,只需证 平面; (2)。
解析试题分析:(1)∵平面,平面,
∴ 又为正方形,∴.又,…………3分
∴平面 ∵平面,∴. ………………………………5分
∵中,中位线,∴ ……………6分
(2)记AD中点为H,连结FH、HG,易知GH//DC,,
又中EF//DC,∴EF//GH所以E、F、H、G四点共面……7分
∴平面EFG与平面ABCD交于GH,所求锐二面角为F-GH-D.……………8分
由(1)平面,EF//DC//GH∴平面
即平面FHD,平面FHD,
所以FH,DH,
∴二面角F-GH-D的平面角是 ……………………11分
FH是等腰直角的中位线,= …………………………13分
∴所求锐二面角的余弦值为.………………14分
证法2:DA、DC、DP两两垂直,以为原点建立空间直角坐标系…1分
则,, ,,G(1,2,0), ………3分
(1), ………………4分
∵ ∴……6分
∴ ………………………………………7分
(2)∵平面,
∴是平面的一个法向量.………9分
设平面EFG的法向量为,∵
令,得是平面的一个法向量. …………11分
∵ …………………………13分
∴所求锐二面角的余弦值为. ……………………………14分
考点:线面垂直的性质定理;线面垂直的判定定理;二面角。
点评:二面角的求法是立体几何中的一个难点。我们解决此类问题常用的方法有两种:①综合法,综合法的一般步骤是:一作二说三求。②向量法,运用向量法求二面角应注意的是计算。很多同学都会应用向量法求二面角,但结果往往求不对,出现的问题就是计算错误。
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(本小题满分12分)
如图,已知三棱柱ABC-A1B1C1,侧面BCC1B1丄底面ABC.
(I)若M、N分别是AB,A1C的中点,求证:MN//平面BCC1B1
(II)若三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长均为2,侧棱BB1与底面 ABC所成的角为60°.问在线段A1C1上是否存在一点P,使得平面B1CP丄平面ACC1A1,若存在,求C1P与PA1的比值,若不存在,说明 理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,在四棱锥P-ABCD中,底面为直角梯ABCD,AD∥BC,∠BAD=90O,PA⊥底面ABCD,且PA=AD=AB=2BC,M,N分别为PC,PB的中点.
(1)求证:PB⊥DM;
(2)求CD与平面ADMN所成角的正弦值;
(3)在棱PD上是否存在点E,PE∶ED=λ,使得二面角C-AN-E的平面角为60o.存在求出λ值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(本题满分12分)
如图所示的几何体是由以正三角形为底面的直棱柱被平面所截而得. ,为的中点.
(1)当时,求平面与平面的夹角的余弦值;
(2)当为何值时,在棱上存在点,使平面?
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(本小题满分l2分) 如图,在多面体ABCDEF中,ABCD为菱形,ABC=60,EC面ABCD,FA面ABCD,G为BF的中点,若EG//面ABCD.
(I)求证:EG面ABF;
(Ⅱ)若AF=AB,求二面角B—EF—D的余弦值.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(本小题满分12分)
如图,在平行四边形中,,将它们沿对角线折起,折后的点变为,且.
(Ⅰ)求证:平面平面;
(Ⅱ)为线段上的一个动点,当线段的长为多少时,与平面所成的角为?
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