Question

9．已知f（x）=x²+3x-5，x∈[t，t+1]，若f（x）的最小值为h（t），求h（t）的解析式．

Answer 1

分析 由于函数f（x）=x²+3x-5的图象的对称轴方程为x=-1.5，且x∈[t，t+1]，分类讨论求出f（x）的最小值．

解答 解：由于函数f（x）=x²+3x-5的图象的对称轴方程为x=-1.5，x∈[t，t+1]，
当t＞-1.5时，函数f（x）=x²+3x-5在区间[t，t+1]上单调递增，f（x）的最小值为h（t）=f（t）=t²+3t-5．
当-1.5∈[t，t+1]时，即-2.5≤t≤-1.5时，函数f（x）在区间[t，-1.5]上单调递减，在区间[-1.5，t+1]上单调递增，f（x）的最小值为h（t）=f（-1.5）=-7.25．
当t+1＜-1.5，即t＜-2.5时，函数f（x）=x²-2x+2在区间[t，t+1]上单调递减，
f（x）的最小值为h（t）=f（t+1）=（t+1）²+3（t+1）-5=t²+5t-1．
综上可得，h（t）=$\left\{\begin{array}{l}{{t}^{2}+5t-1，t＜-2.5}\\{-7.25，-2.5≤t≤-1.5}\\{{t}^{2}+3t-5，t＞-1.5}\end{array}\right.$．

点评 本题主要考查二次函数的性质，函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，属于基础题．