Question

设向量

a

=(cos230，cos670)，

b

=(cos680，cos220)，

u

=

a

+t

b

（t∈R）．
（1）求

a

•

b

；   
（2）求

u

的模的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用向量的坐标运算及逆用两角和的正弦即可；
（2）利用向量的坐标运算即向量求模的方法可求得|

u

|2=1+t²+

2

t，利用配方法即可求得

u

的模的最小值．

解答：解：（1）∵

a

•

b

=cos23°cos68°+cos67°cos22°
=sin67°cos68°+cos67°sin68°
=sin（67°+68°）
=sin135°=

2

2

…5分
（2）∵

u

=

a

+t

b

=（cos23°+tcos68°，cos67°+tcos22°），
∴|

u

|2=（cos23°+tcos68°）²+（cos67°+tcos22°）²
=（cos23°+tsin22°）²+（sin23°+tcos22°）²
=cos²23°+sin²23°+t²（sin²22°+cos²22°）+2t（cos23°sin22°+sin23°cos22°）
=1+t²+

2

t…10分
=(t+

2

2

)2+

1

2

≥

1

2

…12分
∴|

u

|≥

2

2

．
故

u

的模的最小值为

2

2

，此时t=-

2

2

…14分

点评：本题考查数量积的坐标表达式，着重考查三角函数中的恒等变换应用，考查综合运算能力，属于中档题．