Question

（19）已知函数f(x)=－x³＋3x²＋9x＋a.

（Ⅰ）求f(x)的单调递减区间；

（Ⅱ）若f(x)在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．

Answer 1

（19）解：（Ⅰ）f '(x)＝－3x²＋6x＋9．

令f '(x)<0，解得x<－1或x>3，

     所以函数f(x)的单调递减区间为（－∞，－1），（3，＋∞）．

（Ⅱ）因为f(－2)＝8＋12－18＋a=2＋a，

f(2)＝－8＋12＋18＋a＝22＋a，

所以f(2)>f(－2)．

因为在（－1，3）上f '(x)>0，所以f(x)在[－1，2]上单调递增，又由于f(x)在[-2，-1]上单调递减，因此

f(2)和f(－1)分别是f(x)在区间[－2，2]上的最大值和最小值.

于是有22＋a＝20，解得a＝－2．

故f(x)=－x³＋3x²＋9x－2.

因此f(－1)＝1＋3－9－2＝－7，

即函数f(x)在区间[－2，2]上的最小值为－7．