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设多面体ABCDEF,已知ABCDEF,平面ABCD⊥平面ADF,△ADF是以AD为斜边的等腰直角三角形,若∠ADC=120°,AD=2,AB=2,CD=4,EF=3,G为BC的中点.
(1)求证:EG平面ADF;
(2)求直线DE与平面ABCD所成角的余弦值.
(1)证明:如图,设H是AD的中点,可得GH=3,则GH=EF,
又∵GHCD,EFCD
∴GHEF,则EFHG为平行四边形,
故EGFH,
又∵FH?平面ADF
∴EG平面ADF;
(2)∵△ADF是以AD为斜边的等腰直角三角形.
∴FH⊥AD,
又∵平面ADF⊥平面ABCD
∴FH⊥平面ABCD,
∴EG⊥平面ABCD
∴∠EDG是直线DE与平面ABCD所成的角
∵∠ADC=120°,∴∠BAD=60°,
又∵AB=AD=2,∴BD=2∴∠ADB=60°,
又∵CD=4,由余弦定理BC=2
3

∴∠DBC=90°,BG=
3

DG=
7

又∵EG=FH=1,∴DE=2
2

cos∠EDG=
DG
DE
=
14
4

所以直线DE与平面ABCD所成角的余弦值
14
4

练习册系列答案
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如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB1⊥BC1,AB=CC1=1,BC=2.
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(2)若点Q是线段PB的中点,求证:PC⊥平面ADQ;
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(2)求证:EF⊥AD.

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2
,AA1=2,如图,
(1)当点P在BB1上运动时(点P∈BB1,且异于B,B1)设PA∩BA1=M,PC∩BC1=N,求证:MN平面ABCD
(2)当点P是BB1的中点时,求异面直线PC与AD1所成角的正弦值.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

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下列说法正确的是(  )
A.垂直于同一平面的两平面也平行
B.与两条异面直线都相交的两条直线一定是异面直线
C.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D.垂直于同一直线的两平面平行

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,已知ABCD-A1B1C1D1是底面为正方形的长方体,∠AD1A1=60°,AD1=4,P为AD1的中点,(1)求证:直线C1P平面AB1C;(2)求异面直线AA1与B1P所成角的余弦值.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

P是△ABC所在平面外一点,A′、B′、C′分别是△PBC、△PCA、△PAB的重心,
(1)求证:平面A′B′C′平面ABC;
(2)求SABCS△ABC

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