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(本题满分10分)已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形,AB∥DC,底面ABCD,且PA=AD=DC=AB=1,M是PB的中点。(Ⅰ)证明:面PAD⊥面PCD;(Ⅱ)求AC与PB所成的角的余弦值;(Ⅲ)求面AMC与面BMC所成二面角的余弦值。
(2)
:因为PA⊥PD,PA⊥AB,AD⊥AB,以A为坐标原点AD长为单位长度,如图建立空间直角坐标系,则各点坐标为A(0,0,0)B(0,2,0),C(1,1,0),D(1,0,0),P(0,0,1),
M(0,1,.


 
(Ⅰ)证明:因

由题设知AD⊥DC,且AP与AD是平面PAD内的两
条相交直线,由此得DC⊥面PAD.
又DC在面PCD上,故面PAD⊥面PCD.       3分
(Ⅱ)解:因
6分
(Ⅲ)解:在MC上取一点N(xyz),则存在使

要使                     8分
为所求二面角的平面角.

10分
点评:本题考查空间向量的运用,用空间向量研究线面垂直、求线面所成角、面面所成角,属于中档与较难题
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设两不同直线a,b的方向向量分别是
e1
e2
,平面α的法向量是
n

则下列推理①
e1
e2
e1
n
⇒bα
;②
e1
n
e1
n
⇒ab
;③
e1
n
b?α
e1
e2
⇒bα
;④
e1
e2
e1
n
⇒b⊥α

其中正确的命题序号是(  )
A.①②③B.②③④C.①③④D.①②④

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(2)如果FG⊥平面1BCD求二面B-oF-1的平面角的余弦值.

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在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AD=1,E为线段CD中点.
(1)求直线B1E与直线AD1所成的角的余弦值;
(2)若AB=2,求二面角A-B1E-
A_
1
的大小;
(3)在棱AA1上是否存在一点P,使得DP平面B1AE?若存在,求AP的长;若不存在,说明理由.

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在直四棱柱A1B1C1D1ABCD中,当底面四边形ABCD满足条件        时,有A1CB1D1(注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情形).

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