Question

【题目】如图，四棱锥P﹣ABCD的底面为矩形，AB＝，BC＝1，E，F分别是AB，PC的中点，DE⊥PA.

（1）求证：EF∥平面PAD；

（2）求证：平面PAC⊥平面PDE.

Answer 1

【答案】（1）证明过程见详解；（2）证明过程见详解.

【解析】

（1）设的中点为，连接,利用三角形中位线定理、矩形的性质、平行四边形的判定定理和性质定理，结合线面平行的判定定理进行证明即可；

（2）利用相似三角形的判定定理和性质定理，结合线面垂直的判定定理和性质、面面垂直的判定定理进行证明即可.

（1）设的中点为，连接,因为F是PC的中点，所以有

,又因为四棱锥P﹣ABCD的底面为矩形, E是AB的中点,所以有

，因此有,所以四边形是平行四边形，因此有,平面PAD，平面PAD，所以EF∥平面PAD；

（2）在矩形中，设交于点，因为E是AB的中点,所以，

因为，所以∽，因此，而

，所以，而DE⊥PA，

平面PAC，所以平面PAC，而平面PDE，因此

平面PAC⊥平面PDE.