Question

设函数f(x)=cos2x+2

3

sinxcosx(x∈R)的最大值为M，若有10个互不相等的正数x_i满足f（x_i）=M，且x_i＜10π（i=1，2，…，10），则x₁+x₂+…+x₁₀=

140π

3

．

Answer 1

分析：由f(x)=cos2x+2

3

sinxcosx(x∈R)=2sin（2x+

π

6

），知f（x）周期为T=π，f（x_i）=M为最大值，由2x_i+

π

6

=2kπ+

π

2

，x_i=kπ+

π

6

，且x_i＜10π，知x₁=

π

6

，x₂=π+

π

6

，x₃=2π+

π

6

，…，x₁₀=9π+

π

6

，由此能求出x₁+x₂+…+x₁₀．

解答：解：∵f(x)=cos2x+2

3

sinxcosx(x∈R)
=cos2x+

3

sin2x
=2sin（2x+

π

6

），
∴f（x）周期为T=π，f（x_i）=M为最大值，
∵2x_i+

π

6

=2kπ+

π

2

，x_i=kπ+

π

6

，且x_i＜10π，
所以x₁=

π

6

，x₂=π+

π

6

，x₃=2π+

π

6

，…，x₁₀=9π+

π

6

，
∴x₁+x₂+…+x₁₀=（0+1+2+3+…+9）π+10•

π

6

=

140π

3

．
故答案为：

140π

3

．

点评：本题考查正弦函数的定义域和值域的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．