Question

设非空集合S={x|m≤x≤n}满足：当x∈S时，有x²∈S，给出如下三个命题：
①若m=1则S={1}； 
②若m=-

1

2

，则

1

4

≤n≤1；  
③若n=

1

2

，则-

2

2

≤m≤0．
其中正确的命题的个数为（　　）

Answer 1

分析：由定义设非空集合S={x|m≤x≤n}满足：当x∈S时，有x²∈S，当x=n时，n²∈S即n²≤n，解得0≤n≤1，当x=m时，m²∈S即m²≥m，解得m≤0，或m≥1．令m=1，根据m的范围，可判断①的真假；令m=-

1

2

，由m²=

1

4

∈S得

1

4

≤n，结合n的取值范围，可判断②的真假；令n=

1

2

，根据m²∈S，可得

m≤0，或m≥1 m2≤ 1 2 m≤ 1 2

，解不等式组，求出m的范围，可判断③的真假．

解答：解：由定义设非空集合S={x|m≤x≤n}满足：当x∈S时，有x²∈S，当x=n时，n²∈S即n²≤n，解得0≤n≤1
当x=m时，m²∈S即m²≥m，解得m≤0，或m≥1
若m=1，由1=m≤n≤1，可得m=n=1，即S={1}，故①正确；
②m=-

1

2

，m²=

1

4

∈S，即

1

4

≤n，故

1

4

≤n≤1，故②正确；
对于③若n=

1

2

，由m²∈S，可得

m≤0，或m≥1 m2≤ 1 2 m≤ 1 2

解得-

2

2

≤m≤0，故③正确；
故选D

点评：本小题考查集合的运算及不等式和不等式组的解法．属于创新题，解答的关键是对新定义的概念的正确理解，列出不等关系转化为不等式问题解决．