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(2013•黄浦区二模)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,经过点F的动直线l交抛物线C于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,且y1y2=-4.
(1)求抛物线C的方程;
(2)若直线2x+3y=0平分线段AB,求直线l的倾斜角.
(3)若点M是抛物线C的准线上的一点,直线MF,MA,MB的斜率分别为k0,k1,k2.求证:当k0=1时,k1+k2为定值.
分析:(1)设直线l的方程为x=ay+
p
2
,代入y2=2px,消掉x得y的二次方程,利用韦达定理及y1y2=-4即可求得p值,从而得抛物线方程;
(2)由(1)可知y1+y2=2pa=4a,设点D是线段AB的中点,由中点坐标公式可得D点横坐标,代入直线l方程可得纵坐标,根据点D在直线2x+3y=0上可求得a值,设直线l的倾斜角为α,则tanα=
1
a
,根据倾斜角范围即可求得α;
(3)由k0=1可求得yM,从而得知M点坐标,由(1)知y1+y2=4a,y1y2=-4,根据点A、B在直线l上及斜率公式把k1+k2表示出来,进行化简即可求得定值;
解答:解:(1)设直线l的方程为x=ay+
p
2
,代入y2=2px,可得y2-2pay-p2=0(*),
由于A(x1,y1),B(x2,y2)是直线l与抛物线的两交点,
故y1,y2是方程(*)的两个实根,
y1y2=-p2,又y1y2=-4,所以-p2=-4,又p>0,可得p=2,
所以抛物线C的方程为y2=4x.             
(2)由(1)可知y1+y2=2pa=4a,
设点D是线段AB的中点,则有yD=
y1+y2
2
=2a
xD=ayD+
p
2
=2a2+1

由题意知点D在直线2x+3y=0上,
∴2(2a2+1)+6a=0,解得a=-1或-
1
2

设直线l的倾斜角为α,则tanα=
1
a
=-1
或-2,又α∈[0,π),
故直线l的倾斜角为
3
4
π
或π-arctan2.      
(3)k0=
yM
xM-1
=
yM
-2
=1
,可得yM=-2,
由(1)知y1+y2=4a,又y1y2=-4,
k1+k2=
y1+2
x1+1
+
y2+2
x2+1
=
y1+2
ay1+2
+
y2+2
ay2+2
=
2ay1y2+2a(y1+y2)+2(y1+y2)+8
a2y1y2+2a(y1+y2)+4
=
-8a+8a2+8a+8
-4a2+8a2+4
=
8(a2+1)
4(a2+1)
=2

所以k1+k2为定值.
点评:本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、直线斜率及抛物线方程,直线方程、斜率公式是解决该类问题的基础,应熟练掌握.
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