Question

15．计算：
（1）$\frac{2lg2+lg3}{1+\frac{1}{2}lg0.36+\frac{1}{3}lg8}$；       
（2）2$\sqrt{3}$×$\root{6}{12}$×$\root{3}{\frac{3}{2}}$
（3）已知x+x^-1=3，求$\frac{{{x^{\frac{1}{2}}}+{x^{-\frac{1}{2}}}}}{{{x^2}-{x^{-2}}}}$的值．

Answer 1

分析 （1）利用对数运算法则化简求解即可．
（2）利用根式的运算法则化简求解即可．
（3）利用已知条件同分平方运算法则求解即可．

解答 解：（1）$\frac{2lg2+lg3}{1+\frac{1}{2}lg0.36+\frac{1}{3}lg8}$
=$\frac{lg12}{1+lg0.6+lg2}$
=$\frac{lg12}{lg12}$
=1；       
（2）2$\sqrt{3}$×$\root{6}{12}$×$\root{3}{\frac{3}{2}}$
=2×${3}^{\frac{1}{2}}×{3}^{\frac{1}{6}}×{4}^{\frac{1}{6}}×{3}^{\frac{1}{3}}×{2}^{-\frac{1}{3}}$
=6．
（3）已知x+x^-1=3，${（x}^{\frac{1}{2}}+{x}^{-\frac{1}{2}}）^{2}$=x+x^-1+2=5，${{x}^{\frac{1}{2}}+{x}^{-\frac{1}{2}}}^{\;}$=$\sqrt{5}$，（x-x^-1）²=x²+x^-2-2=7，
x-x^-1=$±\sqrt{7}$，x²+x^-2=（x+x^-1）（x-x^-1）=$±3\sqrt{7}$
∴$\frac{{{x^{\frac{1}{2}}}+{x^{-\frac{1}{2}}}}}{{{x^2}-{x^{-2}}}}$=$±\frac{\sqrt{5}}{3\sqrt{7}}$=±$\frac{\sqrt{35}}{21}$．

点评 本题考查对数运算法则以及有理指数幂的运算，根式的运算法则的应用，考查计算能力．