Question

若x₁，x₂∈R，x₁≠x₂，则下列性质对函数f（x）=2^x成立的是

 

．（把满足条件的序号全部写在横线上）
①f（x₁+x₂）=f（x₁）•f（x₂）②f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂）
③[f（x₁）-f（x₂）]•（x₁-x₂）＞0④f(x1)+f(x2)＞2f(

x1+x2

2

)．

Answer 1

分析：①由幂的运算法则计算两端，验证是否相等．
②将两端化简，验证是否相等．
③利用函数的单调性去判定
④将已知变形为

f(x1)+f(x2)

2

＞f(

x1+x2

2

)再去判断．

解答：解：①f（x₁+x₂）=2x1+x2=2x1×2x2=f（x₁）•f（x₂）①对
②f（x₁•x₂）=2x1•x2，f（x₁）+f（x₂）=2x1+2x2，f（x₁•x₂）≠f（x₁）+f（x₂）②错
③f（x）在定义域R上是增函数，对于任意的两不等实数x₁，x₂，若x_1＞x₂ 则f（x₁）_＞f（x₂），若x_1＜x₂ 则f（x₁）＜f（x₂），总之必有[f（x₁）-f（x₂）]•（x₁-x₂）＞0．③对
④如图A，B为函数图象上任意不同两点，M为线段AB的中点，过M且与x轴垂直的直线与图象交与点P．各点坐标如图所示．
由图可知

f(x1)+f(x2)

2

＞f(

x1+x2

2

)，两边同时乘以2，即知④对．
故答案为：①③④．

点评：本题考查指数函数的图象、单调性、指数幂的运算等知识，数形结合的思想方法，分析解决问题的能力．