【题目】已知.
(1)若在上单调递增,求的取值范围;
(2)若有两个极值点,,,证明:(i);(ii).
【答案】(1)a≤6(2)见解析
【解析】
(1)f’(x)=4ex+2e-2x-a,转化为≥0求解,构造g(x)=4ex+2e-2x-a,求导求g(x)的最小值即可;(2)(ⅰ)由(1)设g(x)的两个零点为,,<0<,且a>6.令h(x)=g(x)-g(-x),证明h(x)在(0,+∞)上单调递减,当x>0时,h(x)<h(0)=0,进而证明g()-g(-)<0,从而g()<g(-),,得+>0;(ⅱ)证明f(x)+f(-x)=-(ex+e-x-2)2+6≤6.可得f()<f(-),所以<6.
(1)f’(x)=4ex+2e-2x-a,
令g(x)=4ex+2e-2x-a,则g’(x)=4ex-4e-2x,
显然g’(x)在(-∞,+∞)单调递增,且g(0)=0,
所以当x∈(-∞,0)时,g’(x)<0,g(x)单调递减;
当x∈(0,+∞)时,g’(x)>0,g(x)单调递增.
所以g(x)的最小值为g(0)=6-a,即f’(x)的最小值为6-a,
要使f(x)为单调增函数,则有f’(x)≥0,
所以6-a≥0,故a≤6.
(2)证明:
(ⅰ)由(1)得g(x)的两个零点为,,<0<,且a>6.
f(x)在(-∞,)和(,+∞)上单调递增,在(,)上单调递减.
令h(x)=g(x)-g(-x),
则h’(x)=g’(x)+g’(-x)
=4ex-4e-2x+4e-x-4e2x
=4[-(ex+e-x)2+(ex+e-x)+2]
=4[2-(ex+e-x
所以h(x)在(0,+∞)上单调递减,当x>0时,h(x)<h(0)=0.
所以g()-g(-)<0,从而g()<g(-),
又g)=g()=0,所以g()<g(-),
因为g(x)在(-∞,0)上单调递减,,-∈(-∞,0),
所以>-,故+>0.
(ⅱ)f(x)+f(-x)=4ex-e-2x+4e-x-e2x=-(ex+e-x)2+4(ex+e-x)+2
=-(ex+e-x-2)2+6≤6.
由(ⅰ)得+>0,所以>->0,
由f(x)在(,)上单调递减,可得f()<f(-),
从而有f()+f()<f()+f(-)≤6,
所以f()+f()<6.
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【题目】[选修4-4:坐标系与参数方程]
在直角坐标系中,以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线:,过点的直线的参数方程为:(为参数),直线与曲线分别交于、两点.
(1)写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程;
(2)求线段的长和的积.
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【题目】如图,AB是圆柱的一条母线,已知BC过底面圆的圆心O,D是圆O上不与点B、C重合的任意一点,:
(1)求直线AC与平面ABD所成角的大小;
(2)求点B到平面ACD的距离;
(3)将四面体ABCD绕母线AB旋转一周,求由旋转而成的封闭几何体的体积;
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【题目】某高速公路隧道设计为单向三车道,每条车道宽4米,要求通行车辆限高5米,隧道全长1.5千米,隧道的断面轮廓线近似地看成半个椭圆形状(如图所示).
(1)若最大拱高为6米,则隧道设计的拱宽至少是多少米?(结果取整数)
(2)如何设计拱高和拱宽,才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最小?(结果取整数)
参考数据:,椭圆的面积公式为,其中,分别为椭圆的长半轴和短半轴长.
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【题目】如图,在边长为8的菱形中,,将沿折起,使点到达的位置,且二面角为.
(1)求异面直线与所成角的大小;
(2)若点为中点,求直线与平面所成角的正弦值.
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【题目】某网络营销部门为了统计某市网友某日在某淘宝店的网购情况,随机抽查了该市当天名网友的网购金额情况,得到如下统计表(如图).
网购金额(单位:千元) | 频数 | 频率 |
3 | 0.05 | |
9 | 0.15 | |
15 | 0.25 | |
18 | 0.30 | |
若网购金额超过千元的顾客定义为“网购达人”,网购金额不超过千元的顾客定义为“非网购达人”,已知“非网购达人”与“网购达人”人数比恰好为.
(Ⅰ)试确定的值,并补全频率分布直方图(如图);
(Ⅱ)该营销部门为了进一步了解这名网友的购物体验,从“非网购达人”与“网购达人”中用分层抽样的方法抽取人,若需从这人中随机选取人进行问卷调查.设为选取的人中“网购达人”的人数,求的分布列及其数学期望.
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【题目】已知抛物线E:焦点F,过点F且斜率为2的直线与抛物线交于A、B两点,且.
(1)求抛物线E的方程;
(2)设O是坐标原点,P,Q是抛物线E上分别位于x轴两侧的两个动点,且
①证明:直线PQ必过定点,并求出定点G的坐标;
②过G作PQ的垂线交抛物线于C,D两点,求四边形PCQD面积的最小值.
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