Question

【题目】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为梯形，AD∥BC，AB=BC=CD=1，DA=2，DP⊥平面ABP，O，M分别是AD，PB的中点．
（Ⅰ）求证：PD∥平面OCM；
（Ⅱ）若AP与平面PBD所成的角为60°，求线段PB的长．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）连接BD交OC与N，连接MN．

因为O为AD的中点，AD=2，

所以OA=OD=1=BC．

又因为AD∥BC，

所以四边形OBCD为平行四边形，

所以N为BD的中点，因为M为PB的中点，

所以MN∥PD．

又因为MN平面OCM，PD平面OCM，

所以PD∥平面OCM．

（Ⅱ）由四边形OBCD为平行四边形，知OB=CD=1，

所以△AOB为等边三角形，所以∠A=60°，

所以 ，即AB2+BD2=AD2，即AB⊥BD．

因为DP⊥平面ABP，所以AB⊥PD．

又因为BD∩PD=D，所以AB⊥平面BDP，

所以∠APB为AP与平面PBD所成的角，即∠APB=60°，

所以 ．

【解析】（Ⅰ）连接BD交OC与N，连接MN．证明MN∥PD．然后证明PD∥平面OCM．（Ⅱ）通过计算证明AB⊥BD．AB⊥PD．推出AB⊥平面BDP，说明∠APB为AP与平面PBD所成的角，然后求解即可．
【考点精析】通过灵活运用直线与平面平行的判定和空间角的异面直线所成的角，掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行；已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则即可以解答此题．