Question

矩形ABCD中，已知AB=1，BC=a，PA⊥面积ABCD，PA=

2

，若BC边上存在唯一点Q，使得PQ⊥QD．
（1）求a的值；
（2）M是AD上的一点，M在平面PQD上的射影恰好是△PQD的重心，求M到平面PDQ的距离．

Answer 1

分析：（1）根据题意知，BC边上存在唯一点Q，使得PQ⊥QD．只要AQ⊥QD就可以，在边长分别是1和a的矩形中，BC 边上存在唯一一个点使得AQ⊥QD，Q只能是BC边上的中点，求出结果．
（2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，确定重心的位置，借助于斜边上的中点确定要求的M的位置，重复使用勾股定理求点到面的距离．

解答：解：（1）∵PA⊥平面ABCD，PA=

2

，
∴BC=

2 2+ 2 2

=2，
即a的值是2．
（2）由第一问可知PQ⊥QD．
∴△PQD是一个直角三角形，
它的重心在PD中线QE上，设重心为O，
则OE=

1

3

QE=

1

6

PD=

6

6

，
过E在平面PAD上，做PD的垂线交AD于M，M即为所求的点，
在△DME和△DPA中，两个三角形相似，
得到ME=

3

2

，
∴MO=

21

6

，
即M到平面PDQ的距离是

21

6

点评：本题考查点线面之间的距离的计算，考查三角形的五心，考查点到面的距离，考查线与面垂直的性质，考查根据定理的应用，是一个综合题目．