Question

7．非零实数a，b满足4a²-2ab+4b²-c=0，当|2a+b|取得最大值时，则$\frac{b}{a}$的值为$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 变形可得$\frac{c}{4}$=（a-$\frac{b}{4}$）²+$\frac{15}{16}$b²，由柯西不等式可得．

解答 解：∵非零实数a，b满足4a²-2ab+4b²-c=0，
∴$\frac{c}{4}$=a²-$\frac{1}{2}$ab+b²=（a-$\frac{b}{4}$）²+$\frac{15}{16}$b²，
由柯西不等式可得（a-$\frac{b}{4}$）²+$\frac{15}{16}$b²[2²+（$\frac{6}{\sqrt{15}}$）²]≥[2（a-$\frac{b}{4}$）+$\frac{\sqrt{15}}{4}$b•$\frac{6}{\sqrt{15}}$]²=|2a+b|²，
∴当|2a+b|取得最大值时，有$\frac{a-\frac{b}{4}}{2}$=$\frac{\frac{\sqrt{15}}{4}b}{\frac{6}{\sqrt{15}}}$，∴a=$\frac{3}{2}$b，
变形可得$\frac{b}{a}$=$\frac{2}{3}$，
故答案为：$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查柯西不等式，凑出可用柯西不等式的形式是解决问题的关键，属中档题．