Question

如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，PA=AD=2，M，N分别是AB，PC的中点．
（1）求二面角P-CD-B的大小；
（2）求证：平面MND⊥平面PCD；
（3）求点P到平面MND的距离．

Answer 1

分析：（1）根据PA⊥平面ABCD且四边形ABCD是正方形，利用线面垂直的判定与性质证出CD⊥PD且CD⊥AD，可得∠PDA就是二面角P-CD-B的平面角，Rt△PAD中算出∠PDA=45°，即可得到二面角P-CD-B的大小；
（2）作出如图所示空间直角坐标系，根据题中数据可得

MN

、

ND

、

PD

的坐标，利用垂直向量数量积为零的方法算出平面MND、平面PCD的法向量分别为

m

=（-2，-1，1）和

n

=（0，1，1），算出

m

•

n

=0可得

m

⊥

n

，从而得出平面MND⊥平面PCD；
（3）由（2）中求出的平面MND法向量

m

=（-2，-1，1）与向量

PD

=（0，2，-2），利用点到平面的距离公式加以计算即可得到点P到平面MND的距离．

解答：解：（1）∵四边形ABCD为正方形，∴CD⊥AD，
∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴PA⊥CD，
又∵PD、CD是平面PCD内的相交直线，
∴CD⊥平面PCD，∵PD?平面PCD，可得CD⊥PD，
因此，∠PDA就是二面角P-CD-B的平面角
∵Rt△PAD中，PA=AD=2，∴∠PDA=45°，
即二面角P-CD-B的大小为45°；
（2）∵PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，∴AB、AD、AP两两互相垂直，
如图所示，分别以AB、AD、AP所在直线为x轴、y轴和z轴建立空间直角坐标系，可得A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），
M（1，0，0），N（1，1，1），
∴

MN

=（0，1，1），

ND

=（-1，1，-1），

PD

=（0，2，-2）
设

m

=（x，y，z）是平面MND的一个法向量，
可得

m • MN =y+z=0 m • ND =-x+y-z=0

，取y=-1，得x=-2，z=1，
∴

m

=（-2，-1，1）是平面MND的一个法向量，同理可得

n

=（0，1，1）是平面PCD的一个法向量，
∵

m

•

n

=-2×0+（-1）×1+1×1=0，∴

m

⊥

n

，
即平面MND的法向量与平面PCD的法向量互相垂直，可得平面MND⊥平面PCD；
（3）由（2）得

m

=（-2，-1，1）是平面MND的一个法向量，
∵

PD

=（0，2，-2），得

PD

•

m

=0×（-2）+2×（-1）+（-2）×1=-4，
∴点P到平面MND的距离d=

| PD • m |

|m|

=

4

4+1+1

=

2 6

3

．

点评：本题在特殊的四棱锥中证明面面垂直，并求二面角的大小与点到平面的距离，着重考查了利用空间向量研究平面与平面所成角、二面角的定义及求法和点到平面的距离等知识，属于中档题．