精英家教网 > 高中数学 > 题目详情

定义在R上的函数,对任意x1,x2∈R,都有数学公式,则称函数f(x)是R上的凸函数.已知二次函数f(x)=ax2+x(a∈R,a≠0).
(1)求证:当a<0时,函数f(x)是凸函数;
(2)对任意x∈(0,1],f(x)≥-1恒成立,求实数a的取值范围.

(1)证明:
=
=
又a<0,故
所以当a<0时,函数f(x)是凸函数,命题得证.----------
(2)解:∵对任意x∈(0,1],f(x)≥-1恒成立.
在(0,1]上恒成立,
=2则a≥-2,------
又a≠0,故a≥-2且a≠0.----------
分析:(1)利用作差法证明,即要证:,只要证:
(2)首先根据自变量的范围进行分离常数,然后问题就转化为函数求最值的问题,从而求出实数a的取值范围.
点评:本题主要考查了凸函数的证明,以及函数恒成立问题和二次函数的最值,同时考查了转化的思想,属于中档题.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

设f(x)是定义在R上的函数,对m,n∈R恒有f(m+n)=f(m)•f(n),且当x>0时,0<f(x)<1.
(1)求证:f(0)=1;
(2)求证:当x∈R时,恒有f(x)>0;
(3)求证:f(x)在R上是减函数.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

设f(x)是定义在R上的函数,对任意x,y∈R,恒有f(x+y)=f(x)•f(y),当x>0时,有0<f(x)<1.
(1) 求证:f(0)=1,且当x<0时,f(x)>1;
(2) 证明:f(x)在R上单调递减.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

若f(x)是定义在R上的函数,对任意的实数x,都有f(x+4)≤f(x)+4和f(x+2)≥f(x)+2,且f(1)=0,则f(2009)的值是(  )

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

若f(x)是定义在R上的函数,对任意的实数x,都有f(x+4)≤f(x)+4和f(x+2)≥f(x)+2,且f(1)=0,则f(2013)的值是(  )

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

定义在R上的函数,对任意x1,x2∈R,都有f(
x1+x2
2
)≥
1
2
[f(x1)+f(x2)]
,则称函数f(x)是R上的凸函数.已知二次函数f(x)=ax2+x(a∈R,a≠0).
(1)求证:当a<0时,函数f(x)是凸函数;
(2)对任意x∈(0,1],f(x)≥-1恒成立,求实数a的取值范围.

查看答案和解析>>

同步练习册答案