Question

设函数，且在闭区间上，只有

   （Ⅰ）试判断函数的奇偶性；

   （Ⅱ）试求方程在闭区间上的根的个数，并证明你的结论.

Answer 1

⑴既不是偶函数，也不是奇函数，⑵802个

解析:

（Ⅰ）方法一：若是偶函数，则

于是有，这与在闭区间上，只有矛盾

故不是偶函数；

若是奇函数，则，这与在闭区间上，只有矛盾，故若不是奇函数

所以既不是偶函数，也不是奇函数

方法二：因为在闭区间上，只有故，即不是奇函数

又由知，，而，所以，又

所以，可见不是偶函数

所以既不是偶函数，也不是奇函数

（Ⅱ）方法一：因为

所以，即

所以，即

又，所以和都是方程的根

由和及得到

故方程在闭区间上的根至少有802个

如果存在使得，则

但，这与在闭区间上，只有矛盾

故在上只有两个根，即和

设是方程在闭区间上任意一个根，则存在整数，使得

，且

由上可知或，所以或（）

所以故方程在闭区间上仅有802个根

方法二：由

知是周期为10的函数，

由知的图象关于直线对称

又因为在上仅有所以在上没有根

即在上只有两个根，即和

于是，在内只有400个根，在上仅有2个根，在内仅有400个根，在上没有根。

所以故方程在闭区间上仅有802个根