Question

【题目】如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，E为PB上的点，且2BE=EP．
（1）证明：AC⊥DE；
（2）若PC= BC，求二面角E﹣AC﹣P的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵PD⊥平面ABCD，AC平面ABCD

∴PD⊥AC

∵底面ABCD是正方形，

∴BD⊥AC，

∵PD、BD是平面PBD内的相交直线，

∴AC⊥平面PBD

∵DE平面PBD，

∴AC⊥DE

（2）解：分别以DP、DA、DC所在直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示

设BC=3，则CP=3 ，DP=3，结合2BE=EP可得

D（0，0，0），A（0，3，0），C（0，0，3），P（3，0，0），

E（1，2，2）

∴ =（0，3，﹣3）， =（3，0，﹣3）， =（1，2，﹣1）

设平面ACP的一个法向量为 =（x，y，z），可得

，取x=1得 =（1，1，1）

同理求得平面ACE的一个法向量为 =（﹣1，1，1）

∵cos＜ ， ＞= = ，∴二面角E﹣AC﹣P的余弦值等于

【解析】（1）由线面垂直的定义，得到PD⊥AC，在正方形ABCD中，证出BD⊥AC，根据线面垂直判定定理证出AC⊥平面PBD，从而得到AC⊥DE；（2）建立空间直角坐标系，如图所示．得D、A、C、P、E的坐标，从而得到 、 、 的坐标，利用垂直向量数量积为零的方法，建立方程组解出 =（1，1，1）是平面ACP的一个法向量， =（﹣1，1，1）是平面ACE的一个法向量，利用空间向量的夹角公式即可算出二面角E﹣AC﹣P的余弦值．
【考点精析】解答此题的关键在于理解直线与平面垂直的性质的相关知识，掌握垂直于同一个平面的两条直线平行．