已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,离心率。它有一个顶点恰好是抛物线=4y的焦点。过该椭圆上任一点P作PQ⊥x轴,垂足为Q,点C在QP的延长线上,且。
(Ⅰ)求动点C的轨迹E的方程;
(Ⅱ)设椭圆的左右顶点分别为A,B,直线AC(C点不同于A,B)与直线交于点R,D为线段RB的中点。试判断直线CD与曲线E的位置关系,并证明你的结论。
(Ⅰ)动点的轨迹的方程为;(Ⅱ)直线与圆相切.
【解析】
试题分析:(Ⅰ)求动点C的轨迹E的方程,由题意首先求出椭圆的方程为,设,,由已知,找出与之间的关系,利用点在椭圆上,代入即可求出动点C的轨迹E的方程;(Ⅱ)判断直线CD与曲线E的位置关系,由(Ⅰ)动点的轨迹的方程为,主要看圆心到直线距离与半径之间的关系,因此,主要找直线的方程,设,则,由题意三点共线,得 ∥,设点的坐标为,利用共线,求出,得点的坐标为,从而得点的坐标为,这样写出直线的方程,利用点到直线位置关系,从而可判断直线CD与曲线E的位置关系.
试题解析:(Ⅰ)设椭圆C的方程为,则由题意知b = 1,,
∴,,所以椭圆的方程为。(2分)
设,,由题意得,即
又,代入得,即。
即动点的轨迹的方程为。(6分)
(Ⅱ)设,点的坐标为,
∵三点共线,∴ ∥,
而,,则,∴,
∴点的坐标为,点的坐标为,
∴直线的斜率为,(9分)
而,∴,∴,
∴直线的方程为,化简得,
∴圆心到直线的距离,
所以直线与圆相切。(13分)
考点:求轨迹方程,判断直线与圆的位置关系.
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