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已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,离心率。它有一个顶点恰好是抛物线=4y的焦点。过该椭圆上任一点PPQx轴,垂足为Q,点CQP的延长线上,且

求动点C的轨迹E的方程;

设椭圆的左右顶点分别为AB,直线ACC点不同于AB)与直线交于点RD为线段RB的中点。试判断直线CD与曲线E的位置关系,并证明你的结论。

 

【答案】

动点的轨迹的方程为直线与圆相切.

【解析】

试题分析:求动点C的轨迹E的方程,由题意首先求出椭圆的方程为,设,由已知,找出之间的关系,利用点在椭圆上,代入即可求出动点C的轨迹E的方程;判断直线CD与曲线E的位置关系,由动点的轨迹的方程为,主要看圆心到直线距离与半径之间的关系,因此,主要找直线的方程,设,则,由题意三点共线,得 ,设点的坐标为,利用共线,求出,得点的坐标为,从而得点的坐标为,这样写出直线的方程,利用点到直线位置关系,从而可判断直线CD与曲线E的位置关系.

试题解析:设椭圆C的方程为,则由题意知b = 1

,所以椭圆的方程为。(2分)

,由题意得,即

,代入得,即

即动点的轨迹的方程为。(6分)

,点的坐标为

三点共线,∴

,则,∴

∴点的坐标为,点的坐标为

∴直线的斜率为,(9分)

,∴,∴

∴直线的方程为,化简得

∴圆心到直线的距离

所以直线与圆相切。(13分)

考点:求轨迹方程,判断直线与圆的位置关系.

 

练习册系列答案
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