Question

2．已知曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+\sqrt{10}cosθ}\\{y=\sqrt{10}sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），曲线C₂的极坐标方程为ρ=2cosθ+6sinθ．
（1）将曲线C₁方程，将曲线C₂极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）曲线C₁，C₂是否相交，若相交请求出公共弦的长，若不相交，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+\sqrt{10}cosθ}\\{y=\sqrt{10}sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），利用平方关系可得普通方程．∴曲线C₂的极坐标方程为ρ=2cosθ+6sinθ，即ρ²=2ρcosθ+6ρsinθ，利用互化公式可得直角坐标方程．
（2）曲线C₂的直角坐标方程：x²+y²=2x+6y，配方为：（x-1）²+（y-3）²=10．可得C₂（1，3），半径r=$\sqrt{10}$．曲线C₁的平方关系：（x+2）²+y²=10，可得圆心C₁（-2，0），半径R=$\sqrt{10}$．求出|C₁C₂|即可判断出位置关系，利用勾股定理即可得出公共弦长．

解答 解：（1）曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+\sqrt{10}cosθ}\\{y=\sqrt{10}sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），
利用平方关系可得：（x+2）²+y²=10．
∴曲线C₂的极坐标方程为ρ=2cosθ+6sinθ，即ρ²=2ρcosθ+6ρsinθ，
化为直角坐标方程：x²+y²=2x+6y．
（2）曲线C₂的直角坐标方程：x²+y²=2x+6y，配方为：（x-1）²+（y-3）²=10．
C₂（1，3），半径r=$\sqrt{10}$．
曲线C₁的平方关系：（x+2）²+y²=10，可得圆心C₁（-2，0），半径R=$\sqrt{10}$．
|C₁C₂|=$\sqrt{（-2-1）^{2}+（0-3）^{2}}$=3$\sqrt{2}$∈（0，2$\sqrt{10}$）．
∴两圆相交．
设相交弦长为d，则$（\frac{d}{2}）^{2}$+$（\frac{3\sqrt{2}}{2}）^{2}$=10，解得d=$\sqrt{22}$．
∴公共弦长为$\sqrt{22}$．

点评 本题考查了参数方程的应用、极坐标方程化为直角坐标方程、两圆相交弦长公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．