Question

8．函数f（x）=ax²-2x+1，若y=f（x）在区间[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]上有零点，则实数a的取值范围为（-∞，0]．

Answer 1

分析 对函数类型及零点个数进行讨论，列方程或不等式解出．

解答 解：（1）当a=0时，f（x）=-2x+1，∴f（x）的零点为x=$\frac{1}{2}$，符合题意；
（2）当a≠0时，f（x）为二次函数，△=4-4a，
①若△=0，则a=1，此时f（x）=x²-2x+1=（x-1）²，∴f（x）的零点为x=1，不符合题意，
②若△＞0，即a＜1，（i）若f（x）的零点为x=-$\frac{1}{2}$，或x=$\frac{1}{2}$，则f（-$\frac{1}{2}$）=0，或f（$\frac{1}{2}$）=0，∴$\frac{a}{4}+2=0$，或$\frac{a}{4}=0$，解得a=-8．
（ii）若f（x）在（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）上只有一个零点，则f（-$\frac{1}{2}$）•f（$\frac{1}{2}$）＜0，∴（$\frac{a}{4}+2$）•$\frac{a}{4}$＜0，解得-8＜a＜0．
（iii）若f（x）在[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]上有两个零点，则$\left\{\begin{array}{l}{f（-\frac{1}{2}）≥0}\\{f（\frac{1}{2}）≥0}\\{-\frac{1}{2}＜\frac{1}{a}＜\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{f（-\frac{1}{2}）≤0}\\{f（\frac{1}{2}）≤0}\\{-\frac{1}{2}＜\frac{1}{a}＜\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a}{4}+2≥0}\\{\frac{a}{4}≥0}\\{-\frac{1}{2}＜\frac{1}{a}＜\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a}{4}+2≤0}\\{\frac{a}{4}≤0}\\{-\frac{1}{2}＜\frac{1}{a}＜\frac{1}{2}}\end{array}\right.$．
解得a≥2（舍去），或a≤-8．
综上，a的取值范围是（-∞，0]．
故答案为（-∞，0]．

点评 本题考查了二次函数的零点与系数的关系，分类讨论是常用解题方法．