Question

正方形ABCD，E为正方形对角线交点，将正方形ABCD沿对角线BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，有如下四个结论：
①AB∥CD；②AC⊥BD；③△ACD是等边三角形；④平面AEC⊥平面BCD．其中正确的结论是

②③④

．

Answer 1

分析：由异面直线的判定定理，可判断AB与CD异面，进而得到①的真假；取BD的中点E，则AE⊥BD，CE⊥BD．根据线面垂直的判定及性质可判断②的真假；求出AC长后，可以判断③的真假；由AE垂直BD，结合面面垂直的性质可得AE⊥平面BCD，进而可由面面垂直的判定定理，判断④的真假．

解答：解：由已知可得AB∩平面BCD=B，B∉CD
故AB与CD异面，故①错误
取BD的中点E，则AE⊥BD，CE⊥BD．
∴BD⊥面AEC．?
∴BD⊥AC，故②正确．?
设正方形边长为a，则AD=DC=a，AE=

2

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a=EC．
∴AC=a．?
∴△ACD为等边三角形，故③正确
∵AB=AD，E为BD中点，
∴AE⊥BD，
又∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，AE?平面ABD
故AE⊥平面BCD，
又∵AE?平面AEC
∴平面AEC⊥平面BCD，故④正确；
故答案为：②③④

点评：本题考查的知识点是线面垂直的判定与性质，空间两点距离，线面夹角，异面直线，其中根据已知条件将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A-BD-C，结合立体几何求出相关直线与直线、直线与平面的夹角，及线段的长是关键．