Question

设椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1，(a＞b＞0)的左右焦点分别为F₁，F₂，离心率e=

2

2

，点F₂到右准线为l的距离为

2

（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）设M，N是l上的两个动点，

F1M

•

F2N

=0，
证明：当|MN|取最小值时，

F1F2

+

F2M

+

F2N

=

0

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先根据离心率求得a和c的关系，进而根据F₂到右准线为l的距离求得a和c的另一关系式，联立求得a和c，进而根据a，b和c的关系气的b．
（Ⅱ）根据（1）中的椭圆方程求得可知椭圆的焦点坐标，则l的方程可得，设出M，N的坐标，根据

F1M

•

F2N

=0求得得y₁y₂的值，代入到|MN|的表达式中，根据均值不等式求得|MN|的最小值，根据等号成立的条件求得y₁和y₂的值，进而求得

F1F2

+

F2M

+

F2N

=

0

，证明原式．

解答：解：（Ⅰ）因为e=

c

a

，F₂到l的距离d=

a2

c

-c，所以由题设得

c a = 2 2 a2 c -c= 2

解得c=

2

，a=2
由b²=a²-c²=2，得b=

2

（Ⅱ）由c=

2

，a=2得F1(-

2

，0)，F2(

2

，0)，l的方程为x=2

2

故可设M(2

2

，y1)，N(2

2

，y2)
由知

F1M

•

F2N

=0知(2

2

+

2

，y1)•(2

2

-

2

，y2)=0
得y₁y₂=-6，所以y1y2≠0，y2=-

6

y1

|MN|=|y1-y2|=|y1+

6

y1

|=|y1|+

1

|y1|

≥2

6

当且仅当y1=±

6

时，上式取等号，此时y₂=-y₁
所以，

F1F2

+

F2M

+

F2N

=(-2

2

，0)+(

2

，y1)+(

2

，y2)=（0，y₁+y₂）=

0

点评：此题重点考查椭圆基本量间的关系，进而求椭圆待定常数，考查向量与椭圆的综合应用；要熟悉椭圆各基本量间的关系，数形结合，熟练进行向量的坐标运算，设而不求消元的思想在圆锥曲线问题中的应灵活应用．