Question

已知集合M是满足下列性质的所有函数f（x）组成的集合：对于函数f（x），定义域内的任意两个不同自变量x₁，x₂，均有|f（x₁）-f（x₂）|≤|x₁-x₂|成立．
（1）判断函数f（x）=3x+1是否属于集合M？说明理由；
（2）若g(x)=a(x+

1

x

)在（1，+∞）上属于M，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）判断f（x）是否属于集合M，就看其是否满足条件，通过具体的反例可以直接判断出来．
（2）g（x）属于M则满足不等式条件，通过解恒成立的不等式，进而求得a的范围．

解答：解：（1）f（x）=3x-1∉M，可举反例说明：
若x₁=1，x₂=2，则f（x₁）=4，f（x₂）=7，|f（x₁）-f（x₂）|=3≤1=|x₁-x₂|不成立．
（2）对任意两个自变量x₁，x₂∈（1，+∞），g(x)=a(x-

1

x

)
因为|g（x₁）-g（x₂）|=|a(x1-

1

x1

)-a(x2-

1

x2

)|=|a|•|(x1-x2)+(

x2-x1

x1x2

)|
=|a|•|x1-x2|•|1-

1

x1x2

| ≤|x1-x2|恒成立．
?|a|•|1-

1

x1x2

|≤1?|a|≤|

1

|1- 1 x1x2 |

|
又x₁＞1，x₂＞1?x₁x₂＞1?|1-

1

x1x2

| ∈（0，1）?|

1

|1- 1 x1x2 |

| ∈（1，+∞）
即|a|≤1
故a的取值范围是：[-1，1]

点评：考查反例在证明问题中的重要作用，同时考查不等式恒成立问题的解法．