Question

3．已知x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，记{x}=x-[x]，若a∈（0，1），且$\{a\}＞\{a+\frac{1}{3}\}$，则实数a的取值范围是[$\frac{2}{3}$，+∞）．

Answer 1

分析 根据{x}=x-[x]，以及a∈（0，1），分a＜$\frac{2}{3}$，a=$\frac{2}{3}$，a＞$\frac{2}{3}$，分别比较即可．

解答 解：根据{x}=x-[x]，以及a∈（0，1），当0＜a＜$\frac{2}{3}$时，{a}=a-[a]=a，{a+$\frac{1}{3}$}=a+$\frac{1}{3}$-[a+$\frac{1}{3}$]=a+$\frac{1}{3}$，此时，{a }＜{a+$\frac{1}{3}$}；
当a=$\frac{2}{3}$时，{a}=a-[a]=a，{a+$\frac{1}{3}$}=a+$\frac{1}{3}$-[a+$\frac{1}{3}$]=a+$\frac{1}{3}$-1=0，此时，{a}＞{a+$\frac{1}{3}$}；
当1＞a$＞\frac{2}{3}$时，{a}=a-[a]=a，{a+$\frac{1}{3}$}=a+$\frac{1}{3}$-[a+$\frac{1}{3}$]=a+$\frac{1}{3}$-1=a-$\frac{2}{3}$，此时，{a}＞{a+$\frac{1}{3}$}；
故实数a的取值范围是[$\frac{2}{3}，+∞）$，故答案为是[$\frac{2}{3}，+∞）$

点评 本题考查了不等式比较大小，关键要理解新定义，找到分类的接点，属于中档题．