Question

解答题 已知焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点为圆心，1为半径为圆相切，又知C的一个焦点与A关于直线y＝x对称． (1) 求双曲线C的方程； (2) 若Q是双曲线C上的任一点，F1、F2为双曲线C的左、右两个焦点，从F1引∠F1QF2的平分线的垂线，垂足为N，试求点N的轨迹方程． (3) 设直线y＝mx＋1与双曲线C的左支交于A、B两点，另一直线L经过M(－2，0)及AB的中点，求直线L在y轴上的截距b的取值范围．

Answer 1

答案：
解析：

(1)	解：设双曲线C的渐近线方程为y＝kx，即kx－y＝0 ∵该直线与圆相切， ∴双曲线C的两条渐近线方程为……………………………………………2分 故设双曲线C的方程为，又∵双曲线C的一个焦点为 ∴，∴双曲线C的方程为……………………………4分
(2)	解：若Q在双曲线的右支上，则延长QF2到T，使|QT|＝|OF1| 若Q在双曲线的左支上，则在QF2上取一点T，使|QT|＝|QF1| 根据双曲线的定义|TF2|＝2，所以点T在以F2为圆心，2为半径的圆上，即点T的轨迹方程是①………………………………………6分 由于点N是线段F1T的中点，设N(x，y)，T() 则 代入①并整理得点N的轨迹方程为…………………8分
(3)	解：由 令 直线与双曲线左支交于两点，等价于方程上有两个不等实根． 因此……………………………………………10分 又AB中点为 ∴直线L的方程为……………………………………12分 令x＝0，得 ∵∴ ∴故b的取值范围是………………………14分