Question

【题目】设点A（0，1），B（2，﹣1），点C在双曲线M： ﹣y2=1上，则使△ABC的面积为3的点C的个数为（　　）
A.4
B.3
C.2
D.1

Answer 1

【答案】A
【解析】解：AB的长度|AB|= = =2 ，

设C到AB的距离为d，则由S= d=3，得d= = ，AB的直线方程和为y=kx+1，则由﹣1=2k+1得2k=﹣2，得k=﹣1，

即AB的方程为：y=﹣x+1，即x+y﹣1=0，设与直线x+y﹣1=0平行的直线为x+y+c=0，得y=﹣x﹣c代入双曲线M： ﹣y2=1得3x2+8cx+4+4c2=0，当直线和双曲线相切时，判别式△=64c2﹣12（4+4c2）=0，即c2=3，得c=± ，

即相切的直线方程为x+y+ =0或x+y﹣ =0，直线x+y+ =0和x+y﹣1=0的距离d= = ＜ ，则此时△ABC的面积为3的点C有两个，直线x+y﹣ =0和x+y﹣1=0的距离d= = ＜ ，则此时△ABC的面积为3的点C有两个，

综上△ABC的面积为3的点C有4个，

故答案选：A

由题意可得设C到AB的距离为d，得 ，AB的直线方程和为y=kx+1，得k=﹣1。设与直线x+y﹣1=0平行的直线为x+y+c=0，得y=﹣x﹣c代入双曲线可得当直线和双曲线相切时，判别式△=0成立得.直线x+y+ 3 =0和x+y﹣1=0的距离d<.直线x+y﹣ 3 =0和x+y﹣1=0的距离d<,则此时△ABC的面积为3的点C有两个, 综上△ABC的面积为3的点C有4个.