Question

【题目】在平面直角坐标系中，如果与都是整数，就称点为整点，下列命题中正确的是_____________（写出所有正确命题的编号）

①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点

②如果与都是无理数，则直线不经过任何整点

③直线经过无穷多个整点，当且仅当经过两个不同的整点

④直线经过无穷多个整点的充分必要条件是：与都是有理数

⑤存在恰经过一个整点的直线

Answer 1

【答案】①③⑤

【解析】

给直线分别取不同的方程，可得到②和④的反例，同时找到符合条件①和⑤的直线；通过过原点的直线经过两个不同的整点可证得其经过无穷多个整点，③正确.

①令直线为：，则其不与坐标轴平行且不经过任何整点，①正确；

②令直线为：，则直线经过整点，②错误；

③令直线为：，过两个不同的整点，

则，两式作差得：

即直线经过整点

直线经过无穷多个整点，③正确；

④令直线为：，则不过整点，④错误；

⑤令直线为：，则其只经过一个整点，⑤正确.

本题正确结果：①③⑤