Question

某安全生产监督部门对5家小型煤矿进行安全检查（简称安检）．若安检不合格，则必须进行整改．若整改后经复查仍不合格，则强行关闭．设每家煤矿安检是否合格是相互独立的，且每家煤矿整改前安检合格的概率是0.5，整改后安检合格的概率是0.8，计算（结果精确到0.01）：
（Ⅰ）恰好有两家煤矿必须整改的概率；
（Ⅱ）平均有多少家煤矿必须整改；
（Ⅲ）至少关闭一家煤矿的概率．

Answer 1

分析：（1）由每家煤矿必须整改的概率是1-0.5，且每家煤矿是否整改是相互独立的．代入n次独立重复试验中恰好发生k次的概率公式，即可得到答案．
（2）由题意，必须整改的煤矿数ξ服从二项分布B（5，0.5），我们计算出ξ的数学期望，根据数学期望易得到平均有多少家煤矿必须整改；
（3）要至少关闭一家煤矿的概率．则表示该煤矿第一次安检不合格，整改后经复查仍不合格，代入分步事件概率乘法公式即可得到结论．

解答：解：（Ⅰ）每家煤矿必须整改的概率是1-0.5，
且每家煤矿是否整改是相互独立的．
所以恰好有两家煤矿必须整改的概率是
P1=

C

2 5

×(1-0.5)2×0.53=

5

16

=0.31．
（Ⅱ）由题设，必须整改的煤矿数ξ服从二项分布B（5，0.5）．
从而ξ的数学期望是Eξ=5×0.5=2.5，
即平均有2.50家煤矿必须整改．
（Ⅲ）某煤矿被关闭，
即该煤矿第一次安检不合格，
整改后经复查仍不合格，
所以该煤矿被关闭的概率是
P₂=（1-0.5）×（1-0.8）=0.1，
从而该煤矿不被关闭的概率是0.9．
由题意，每家煤矿是否被关闭是相互独立的，
所以至少关闭一家煤矿的概率是
P₃=1-0.9⁵=0.41

点评：本小题主要考查相互独立事件概率的计算，运用数学知识解决问题的能力，要想计算一个事件的概率，首先我们要分析这个事件是分类的（分几类）还是分步的（分几步），然后再利用加法原理和乘法原理进行求解．