Question

已知f（x）为二次函数，不等式f（x）+2＜0的解集为（-1，

1

3

），且对任意α，β∈R恒有f（sinα）≤0，f（2+cosβ）≥0．数列a_n满足a₁=1，3a_n+1=1-

1

f′(an)

（n∈N^×）
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）设b_n=

1

an

，求数列b_n的通项公式；
（Ⅲ）若（Ⅱ）中数列b_n的前n项和为S_n，求数列S_n•cos（b_nπ）的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据“f（x）为二次函数，不等式f（x）+2＜0的解集为( -1，  

1

3

 )，”可得到f(x)+2=a(x+1)(x-

1

3

)即f(x)=ax2+

2a

3

x-

a

3

-2，再由“任意α，β∈R恒有f（sinα）≤0，f（2+cosβ）≥0”可得f（1）≤0，f（2-1）≥0，从而有f（1）=0，解得a=

3

2

得到函数的解析式．
（Ⅱ）先求导数f'（x）=3x+1，则3an+1=1-

1

f′(an)

=1-

1

3an+1

=

3an

3an+1

即an+1=

an

3an+1

，两边取倒数，有

1

an+1

=3+

1

an

由等差数列定义求解．
（Ⅲ）化简得S_n•cos（b_nπ）=（-1）ⁿ•S_n∴以有T_n=-S₁+S₂-S₃+S₄-+（-1）ⁿS_n．再分n为偶数和n为奇数两种情况化简即可．

解答：解：（Ⅰ）依题意，f(x)+2=a(x+1)(x-

1

3

)（a＞0），
即f(x)=ax2+

2a

3

x-

a

3

-2
令α=

π

2

，β=π，则sinα=1，cosβ=-1，有f（1）≤0，f（2-1）≥0，
得f（1）=0，即a+

2a

3

-

a

3

-2=0，得a=

3

2

．
∴f(x)=

3

2

x2+x-

5

2

．-（4分）
（Ⅱ）f'（x）=3x+1，则3an+1=1-

1

f′(an)

=1-

1

3an+1

=

3an

3an+1

即an+1=

an

3an+1

，两边取倒数，得

1

an+1

=3+

1

an

，即b_n+1=3+b_n．
∴数列b_n是首项为b1=

1

a1

=1，公差为3的等差数列．
∴b_n=1+（n-1）•3=3n-2（n∈N^*）．（9分）
（Ⅲ）∵cos（b_nπ）=cos（3n-2）π=cos（nπ）=（-1）ⁿ
∴S_n•cos（b_nπ）=（-1）ⁿ•S_n∴T_n=-S₁+S₂-S₃+S₄-+（-1）ⁿS_n．
（1）当n为偶数时T_n=（S₂-S₁）+（S₄-S₃）++（S_n-S_n-1）=b₂+b₄++b_n
=

n 2 (b2+bn)

2

=

n

4

(4+3n-2)=

3n2+2n

4

（2）当n为奇数时Tn=Tn-1-Sn=

3 (n-1)2+2 (n-1)

4

-

n (1+3n-2)

2

=

-3n2-2n+1

4

综上，Tn=

-3n2-2n+1 4   ( n为奇数 ) 3n2+2n 4   ( n为偶数 ).

（13分）

点评：本题主要考查函数与数列的综合运用，主要涉及了二次函数求解析式，构造数列求数列的通项及前n项和等问题，属于中档题．