Question

14．已知函数f（x）=$\frac{1}{3}{x^3}$-4x+4
（1）求函数的极值；
（2）若函数f（x）=k有3个解，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先求出函数的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数的极值；（2）画出函数f（x）的图象，结合图象从而求出k的范围．

解答 解：（1）f′（x）=x²-4=（x+2）（x-2），
令f′（x）=0，解得：x=2或x=-2，
当x变化时，f′（x）、f（x）的变化情况如下表：

x	（-∞，-2）	-2	（-2，2）	2	（2，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	单调递增↗	$\frac{28}{3}$	单调递减↘	$-\frac{4}{3}$	单调递增↗

因此，当x=-2时，f（x）有极大值$\frac{28}{3}$
当x=2时，f（x）有极小值$-\frac{4}{3}$；
（2）函数$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-4x+4$的图象，大致如图：

若函数f（x）=k有3个解，
即函数y=k和y=f（x）的图象有3个交点，
由图可知：$-\frac{4}{3}＜k＜\frac{28}{3}$．

点评 本题考查了函数的单调性，函数的极值问题，考查导数的应用，数形结合思想，是一道中档题．