Question

6．实数a，b，c满足$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{{b}^{2}=ac}\\{5b≥2（a+c）}\end{array}\right.$，则$\frac{5a+8b+4c}{a+b}$的取值范围是（　　）

• A． [$\frac{5}{12}$，$\frac{11}{6}$]
• B． （-∞，$\frac{5}{12}$]∪[$\frac{11}{6}$，+∞）
• C． [$\frac{20}{3}$，$\frac{37}{3}$]
• D． （-∞，$\frac{20}{3}$]∪[$\frac{37}{3}$，+∞）

Answer 1

分析 a＞0，b²=ac，可得c＞0，b＞0．由5b≥2（a+c），b=$\sqrt{ac}$，可得$2a-5\sqrt{ac}$+2c≤0，化为：$2（\sqrt{\frac{a}{c}}）^{2}$-5$\sqrt{\frac{a}{c}}$+2≤0，令$\sqrt{\frac{a}{c}}$=t＞0，即2t²-5t+2≤0，解得t范围.$\frac{5a+8b+4c}{a+b}$=$\frac{5a+8\sqrt{ac}+4c}{a+\sqrt{ac}}$=$\frac{5{t}^{2}+8t+4}{{t}^{2}+t}$=5+$\frac{3t+4}{{t}^{2}+t}$，再利用研究函数的单调性即可得出．

解答 解：∵a＞0，b²=ac，∴c≥0．
当c=0时，b=0，不满足5b≥2（a+c），舍去．
∴c＞0．
∵5b≥2（a+c），∴b＞0．
由5b≥2（a+c），b=$\sqrt{ac}$，可得$2a-5\sqrt{ac}$+2c≤0，
化为：$2（\sqrt{\frac{a}{c}}）^{2}$-5$\sqrt{\frac{a}{c}}$+2≤0，令$\sqrt{\frac{a}{c}}$=t＞0，
即2t²-5t+2≤0，解得$\frac{1}{2}≤t≤2$．
∴$\frac{5a+8b+4c}{a+b}$=$\frac{5a+8\sqrt{ac}+4c}{a+\sqrt{ac}}$=$\frac{5\frac{a}{c}+8\sqrt{\frac{a}{c}}+4}{\frac{a}{c}+\sqrt{\frac{a}{c}}}$=$\frac{5{t}^{2}+8t+4}{{t}^{2}+t}$=$\frac{5（{t}^{2}+t）+3t+4}{{t}^{2}+t}$=5+$\frac{3t+4}{{t}^{2}+t}$，
令f（t）=$\frac{3t+4}{{t}^{2}+t}$，t∈$[\frac{1}{2}，2]$．
∴f′（t）=$\frac{-3{t}^{2}-8t-4}{（{t}^{2}+t）^{2}}$＜0，
∴函数f（t）在t∈$[\frac{1}{2}，2]$内单调递减．
∴f（t）∈$[\frac{5}{3}，\frac{22}{3}]$，
∴$\frac{5a+8b+4c}{a+b}$∈$[\frac{20}{3}，\frac{37}{3}]$．
故选：C．

点评 本题考查了不等式的解法及其性质、利用导数研究函数的单调性极值与最值、换元方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．