Question

20．已知过点P（-2，0）的双曲线C与椭圆$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1有相同的焦点，则双曲线C的渐近线方程是y=$±\sqrt{3}x$．

Answer 1

分析 通过椭圆方程可知双曲线焦点F₁（-4，0）、F₂（4，0），并利用点P在双曲线上，计算即得结论．

解答 解：依题意，椭圆焦点F₁（-4，0），F₂（4，0），
设双曲线方程：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{（-2）^{2}}{{a}^{2}}-\frac{0}{{b}^{2}}=1}\\{{a}^{2}+{b}^{2}={4}^{2}}\end{array}\right.$，
解得：a=2，b=$2\sqrt{3}$，
∴双曲线方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{12}$=0，
∴其渐近线方程为：y=±$\frac{2\sqrt{3}}{2}$x=$±\sqrt{3}x$，
故答案为：y=$±\sqrt{3}x$．

点评 本题考查椭圆的简单性质，注意解题方法的积累，属于中档题．