Question

【题目】已知函数.

（1）求函数在处的切线方程；

（2）若不等式对任意的都成立，求实数m的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

(1)先利用导数求切线的斜率,再求切线方程;

(2) 根据题意可得对任意的，都成立，

当时,显然成立;当时,设， 问题即转化为恒成立,只需要即可,因为 (当且仅当时取等号)，即满足即有对恒成立,构造,通过求导判断函数的单调性求最小值,即可求得的取值范围.

（1）设，则，

当时，，，

∴函数在处的切线方程为，即.

（2）根据题意可得对任意的，都成立，

当时，不等式即为，显然成立；

当时，设，则不等式恒成立，

即为不等式恒成立，

∵ (当且仅当时取等号)，

∴由题意可得，即有对恒成立，

令，则，

令，即有，

令，则，

当时，，在上单调递增，

又，有且仅有一个根，

当时，，单调递增，当时，，单调递减，

∴当时，取得最小值，为，∴．

∴实数的取值范围