Question

已知抛物线y²=2x，
（1）设点A的坐标为(

2

3

，0)，求抛物线上距离点A最近的点P的坐标及相应的距离|PA|；
（2）在抛物线上求一点P，使P到直线x-y+3=0的距离最短，并求出距离的最小值．

Answer 1

分析：（1）设抛物线上y²=2x上的点P（m，n），利用两点间的距离公式可求得|PA|²=(m+

1

3

)2+

1

3

，
（2）设P（x，y）为该抛物线上任一点，利用点到直线间的距离公式可求得点P到直线x-y+3=0的距离d的关系式，并求得d_min．

解答：解：（1）设抛物线上y²=2x上的点P（m，n）（m≥0），
则|PA|²=(m-

2

3

)2+n²=m²-

4

3

m+

4

9

+2m=m²+

2

3

m+

4

9

=(m+

1

3

)2+

1

3

，
∵m≥0，
∴当m=0时，|PA|²达到最小值

4

9

，
∴当点P的坐标为P（0，0）时，|PA|_min=

2

3

；
（2）设P（x，y）为该抛物线上任一点，那么y²=2x，
则点P到直线的距离d=

|x-y+3|

2

=

| y2 2 -y+3|

2

=

|(y-1)2+5|

2 2

=

2

4

[（y-1）²+5]≥

5 2

4

，当且仅当y=1时，取“=”．
此时点P（

1

2

，1）．
即抛物线上的点P的坐标为P（

1

2

，1）时，点P到直线x-y+3=0的距离最短，最小值为

5 2

4

．

点评：本题考查抛物线的简单性质，左支考查点到直线间的距离公式与两点间的距离公式，属于中档题．