Question

【题目】在四棱锥中，已知，，，，三角形是边长为2的正三角形，当四棱锥的外接球的体积取得最小值时，则以下判断正确的是（ ）

A.四棱锥的体积取得最小值为，外接球的球心必在四棱锥内

B.四棱锥的体积取得最小值为，外接球的球心可在四棱锥内或外

C.四棱锥的体积为，外接球的球心必在四棱锥内

D.四棱锥的体积为，外接球的球心可在四棱锥内或外

Answer 1

【答案】C

【解析】

根据，得到，，说明四边形有一个外接圆，且圆心为的中点设为，设外接球的球心为，利用截面圆的性质，则平面，设，同理过作平面的垂线，垂足为，为正三角形的外心，设，外接球的半径为，则有，然后根据当四棱锥外接球的体积取得最小时，外接球的半径最小求解.

当四棱锥外接球的体积取得最小时，外接球的半径最小.

由已知得，，所以，，

所以四边形有一个外接圆，且圆心为的中点设为，

设外接球的球心为，则平面，设，

过作平面的垂线，垂足为，则为三角形的外心，

设，外接球的半径为，则，所以，

所以，当且仅当时，外接球的体积取得最小值，此时平面平面，

可得四棱锥的体积为，且外接球的球心必在四棱锥内.

故选：C