Question

一个多面体的直观图和三视图如图所示,其中M,N分别是AB,AC的中点,G是DF上的一动点.

(1)求该多面体的体积与表面积;
(2)求证:GN⊥AC;
(3)当FG=GD时,在棱AD上确定一点P,使得GP∥平面FMC,并给出证明.

Answer 1

（1）(3+)a²  （2）见解析  （3）见解析

解:(1)由题中图可知该多面体为直三棱柱,
在△ADF中,AD⊥DF,DF=AD=DC=a,
所以该多面体的体积为a³,
表面积为a²×2+a²+a²+a²=(3+)a².

(2)连接DB,FN,
由四边形ABCD为正方形,
且N为AC的中点知B,N,D三点共线,且AC⊥DN.
又∵FD⊥AD,FD⊥CD,AD∩CD=D,∴FD⊥平面ABCD.
∵AC?平面ABCD,
∴FD⊥AC.
又DN∩FD=D,
∴AC⊥平面FDN,
又GN?平面FDN,
∴GN⊥AC.
(3)点P与点A重合时,GP∥平面FMC.
取FC的中点H,连接GH,GA,MH.
∵G是DF的中点,∴GHCD.
又M是AB的中点,∴AMCD.
∴GH∥AM且GH=AM,
∴四边形GHMA是平行四边形.
∴GA∥MH.
∵MH?平面FMC,GA?平面FMC,
∴GA∥平面FMC,即当点P与点A重合时,GP∥平面FMC.