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已知函数

(I)当时,讨论函数的单调性:

(Ⅱ)若函数的图像上存在不同两点,设线段的中点为,使得在点处的切线与直线平行或重合,则说函数是“中值平衡函数”,切线叫做函数的“中值平衡切线”.

试判断函数是否是“中值平衡函数”?若是,判断函数的“中值平衡切线”的条数;若不是,说明理由.

 

【答案】

(I) 当时,函数的递增区间是,递减区间是

时,函数的递增区间是,递减区间是

(Ⅱ) 函数不是“中值平衡函数”

【解析】

试题分析:(1)

时,,函数在定义域上是增函数;

时,由得到

所以:当时,函数的递增区间是,递减区间是

时,由得到:

所以:当时,函数的递增区间是,递减区间是;       

(2)若函数是“中值平衡函数”,则存在)使得

,(*)

时,(*)对任意的都成立,所以函数是“中值平衡函数”,且函数的“中值平衡切线”有无数条;

时,设,则方程在区间上有解,

记函数,则

所以当时,,即方程在区间上无解,

即函数不是“中值平衡函数”.

考点:利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的单调性.

点评:此题考查学生会利用导函数的正负求出函数的单调区间,灵活运用中点坐标公式化简求值,掌握反证法进行命题证明的方法,是一道综合题,属难题.

 

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