已知函数
(I)当时,讨论函数的单调性:
(Ⅱ)若函数的图像上存在不同两点,,设线段的中点为,使得在点处的切线与直线平行或重合,则说函数是“中值平衡函数”,切线叫做函数的“中值平衡切线”.
试判断函数是否是“中值平衡函数”?若是,判断函数的“中值平衡切线”的条数;若不是,说明理由.
(I) 当时,函数的递增区间是,递减区间是
当时,函数的递增区间是和,递减区间是
(Ⅱ) 函数不是“中值平衡函数”
【解析】
试题分析:(1)
当即时,,函数在定义域上是增函数;
当即时,由得到或,
所以:当时,函数的递增区间是和,递减区间是;
当即时,由得到:,
所以:当时,函数的递增区间是,递减区间是;
(2)若函数是“中值平衡函数”,则存在()使得
即,
即,(*)
当时,(*)对任意的都成立,所以函数是“中值平衡函数”,且函数的“中值平衡切线”有无数条;
当时,设,则方程在区间上有解,
记函数,则,
所以当时,,即方程在区间上无解,
即函数不是“中值平衡函数”.
考点:利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的单调性.
点评:此题考查学生会利用导函数的正负求出函数的单调区间,灵活运用中点坐标公式化简求值,掌握反证法进行命题证明的方法,是一道综合题,属难题.
科目:高中数学 来源:2013-2014学年四川成都外国语学校高三12月月考理科数学试卷(解析版) 题型:解答题
已知函数.
(I)当时,求的单调区间
(Ⅱ)若不等式有解,求实数m的取值菹围;
(Ⅲ)定义:对于函数和在其公共定义域内的任意实数,称的值为两函数在处的差值。证明:当时,函数和在其公共定义域内的所有差值都大干2。
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科目:高中数学 来源:2011年河北省高一上学期期中考试数学 题型:解答题
(本小题满分12分)
已知函数.
(I)当时,若方程有一根大于1,一根小于1,求的取值范围;
(II)当时,在时取得最大值,求实数的取值范围.
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