Question

定义在R上的函数y=f（x），满足f（4-x）=f（x），（x-2）f′（x）＜0，若x₁＜x₂，且x₁+x₂＞4，则有

1. A.
   f（x₁）＜f（x₂）
2. B.
   f（x₁）＞f（x₂）
3. C.
   f（x₁）=f（x₂）
4. D.
   不确定

Answer 1

B
分析：由题设中条件f（4-x）=f（x）可得出函数关于x=2对称，由（x-2）f′（x）＜0可得出x＞2时，导数为正，x＜2时导数为负由此可必出函数的单调性利用单调性比较大小即可选出正确答案
解答：由题意f（4-x）=f（x），可得出函数关于x=2对称
又（x-2）f′（x）＜0，得x＞2时，导数为负，x＜2时导数为正，
即函数在（-∞，2）上是增函数，在（2，+∞）上是减函数
又x₁＜x₂，且x₁+x₂＞4，下进行讨论
若2＜x₁＜x₂，显然有f（x₁）＞f（x₂）
若x₁＜2＜x₂，有x₁+x₂＞4可得x₁＞4-x₂，故有f（x₁）＞f（4-x₂）=f（x₂）
综上讨论知，在所给的题设条件下总有f（x₁）＞f（x₂）
故选B
点评：本题考查函数单调性与导数的关系以及利用单调性比较大小，求解本题的关键是根据导数的符号判断出函数的单调性，在比较大小时根据所给的条件灵活变形，将两数的大小比较转化到一个单调区间上比较也很重要，本题考查了转化化归的能力．